Quand l’abstraction devient un outil puissant pour décoder le réel
Le Grand Oral en spécialité Mathématiques est souvent redouté. Comment parler pendant dix minutes de concepts abstraits sans tableau noir pour poser ses équations ? L’erreur classique est de vouloir faire un « cours » au jury. Au contraire, l’objectif est de démontrer comment les outils mathématiques que vous avez maîtrisés durant l’année (fonctions,suites, probabilités, arithmétique) permettent de modéliser, comprendre et résoudre des problèmes concrets du monde qui nous entoure.
Pour réussir, il faut choisir un sujet qui vous plaît sincèrement et qui possède un ancrage fort dans le programme de Terminale. Voici trois pistes de sujets « clé en main » pour vous inspirer et structurer votre réflexion.
Sujet 1 spé mathématiques : La cybersécurité repose-t-elle uniquement sur les nombres premiers ?
Le contexte : Chaque fois que vous effectuez un achat en ligne, vos données bancaires sont protégées par des systèmes de chiffrement comme le RSA. Ce système repose sur une propriété arithmétique simple en apparence, mais complexe en pratique : la difficulté de factoriser de très grands nombres.
- La problématique du Grand Oral : En quoi la difficulté de décomposition en facteurs premiers est-elle la clé de voûte de la sécurité de nos échanges numériques via le chiffrement RSA ?
- L’ancrage dans le programme : Ce sujet mobilise fortement l’arithmétique (spécialité maths expertes, mais abordable en spé classique sous un angle algorithmique) : nombres premiers, théorème de Fermat (petit),congruences, et l’algorithme d’Euclide étendu pour la création des clés publiques et privées.
- L’angle d’attaque : Expliquez le principe de la « fonction à sens unique » : il est facile de multiplier deux grands nombres premiers (le cadenas), mais extrêmement difficile de retrouver ces deux nombres à partir de leur produit (la clé). Vous pouvez conclure sur la menace que représente l’informatique quantique pour ce système.
Sujet 2 spé mathématiques : Peut-on mathématiquement prédire la fin d’une épidémie ?
Le contexte : Les récentes crises sanitaires ont mis en lumière le rôle crucial des modélisateurs. Comment les gouvernements décident-ils d’un confinement ou d’une campagne de vaccination ? Grâce à des modèles prédictifs.
- La problématique du Grand Oral : Comment l’utilisation d’équations différentielles dans le modèle SIR permet-elle d’anticiper le pic d’une épidémie et l’impact de la vaccination ?
- L’ancrage dans le programme : C’est le règne de l’analyse. Vous utiliserez les équations différentielles (du type y′=ay+b) pour décrire les vitesses de passage entre les catégories « Sains », « Infectés » et « Rétablis ». L’étude des fonctions dérivées permet de situer le pic épidémique.
- L’angle d’attaque : Ne vous perdez pas dans la résolution complexe du système complet. Concentrez-vous sur la phase de croissance exponentielle initiale et sur le fameux « R0 » (taux de reproduction). Montrez comment les maths aident à prendre des décisions politiques.
Sujet 3 spé mathématiques : La Théorie des Jeux : pourquoi la coopération n’est-elle pas toujours logique ?
Le contexte : En économie, en géopolitique ou même en biologie évolutionniste, les individus prennent des décisions en fonction de celles des autres. La théorie des jeux modélise ces interactions stratégiques.
- La problématique du Grand Oral : À travers le « Dilemme du Prisonnier », comment les probabilités et la notion d’espérance permettent-elles de comprendre pourquoi des acteurs rationnels choisissent parfois de ne pas coopérer, même si c’est nuisible pour tous ?
- L’ancrage dans le programme : Ce sujet fait appel aux probabilités conditionnelles, aux variables aléatoires et au calcul d’espérance. C’est un excellent moyen de lier les maths aux sciences économiques et sociales.
- L’angle d’attaque : Présentez le dilemme sous forme de matrice de gains. Calculez l’espérance de gain pour chaque stratégie (dénoncer ou se taire). Montrez que l’équilibre mathématique (l’équilibre de Nash) n’est pas forcément l’optimum collectif.
Le conseil Mathésciences : Pour le Grand Oral, la rigueur mathématique est indispensable, mais elle doit être au service de la narration. N’assommez pas le jury de calculs ; expliquez le sens de ces calculs.
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